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提起“芝诺的乌龟”,可能知道的人不算多,但提起“薛定谔的猫”,相信听过的人就占大多数了。
事实上“芝诺的乌龟”的级别与“薛定谔的猫”是相同的,它俩再加上“拉普拉斯兽”、“麦克斯韦妖”,被称为“物理学的四大神兽”,在物理界可谓是威名远扬。
“芝诺的乌龟”也被称为“芝诺悖论”,它原本讲的是神与乌龟赛跑的故事,我们不妨改回熟悉的龟兔赛跑。
乌龟对兔子说:“你虽然跑得很快,但只要我先跑,你就永远无法追上我。”
兔子不相信,乌龟举了个例子:“比如我先跑了100米,你再来追我,假设你的速度永远保持10米每秒,我的速度永远保持1米每秒,那当你花了10秒跑完100米,我向前走了10米,我还在你前面。1秒后,你又跑了10米,而我走了1米,我依然在你面前。如此类推,不管你怎么接近我,但我永远都在你面前。”
兔子仔细一想,它还真是永远都追不上这只乌龟。
于是龟兔赛跑以乌龟的嘴炮获得了胜利,兔子不战而认输。
可真是这样吗?人人皆知真跑起来,兔子一下子就能超过乌龟,可为什么会出现这样的悖论?
这个问题最终用数学语言来描述,就是一個有限的长度被分成了无限多份,但这无限多份加起来并不是无穷大。
庄子在《庄子·天下篇》中同样提到了类似的神棰——“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。这也是完全一样的悖论。
博士生华洪忍不住问道:“秦克学弟,我听过这个‘芝诺的乌龟’,但与我们这个问题有什么关系吗?”
“‘芝诺的乌龟’这个悖论在数学上是怎么被解决的?”
“通过微积分的‘极限’概念。”
秦克笑着说:“对的,你们在这里解偏微分方程组,用了‘极大’和‘极小’法,从理论上来说是正确的,就像乌龟作的假设,但问题是最终论证出来的结果,与现实大相径庭,甚至相违背,这是不是与‘芝诺的乌龟’本质上是一样的?”
陈立成、华洪等人同时眼睛发亮,仔细一想,确实如此!
“极大极小法确实是非常优秀的数学方法,但用在这个场合并不合适,在种内和种间均吸引的情况下,薛定谔方程在非线性偏微分方程组的解代表波函数,解的平方代表着粒子在某个时间点出现在一定空间位置的概率密度,用极大极小法很容易就会出现概率密度因为极限化而失真的结果。”
“原来如此,确实如此!”陈立成也是数学大牛,一想就明白了,随即懊恼道:“为什么我们就是没发现这个问题呢!”
“你们这是当局者迷,一心想着用极大极小法这样的利器、以最快的速度解决这个难题,反倒在不知不觉间陷入了到类似‘芝诺的乌龟’的悖论之中了。”
秦克以婉转的语气替众人找了个台阶下,其实以陈立成这样的天才数学家,如果不是急着以最短的时间做出最耀眼的成绩,只要踏踏实实地用不同的方法来钻研,肯定能在两个月内解决这个难题。
但因为心态的问题,造成了这样欲速则不达的结果来……
华洪下意识地追问:“那该用什么数学方法最合适?”
话一出口,几人都向他投去了古怪的目光。
人家秦克能这么快看出问题所在已非常了不起了,你还指望着他给出正确答案来?这不是为难他让他下不了台吗?
陈立成轻咳了声,正要岔开这个话题,却听秦克沉思着说道:“一定要我给建议的话,可以从两个方向进行尝试。”
“第一个是用‘分歧’的方法,通过精细的约束,确定正规化解存在的参数范围,再求证正规解的存在性。”
“另一种可以尝试‘变分法’,通过引进‘等价泛函’、‘山路引理’、‘环绕方法’,来确定正规化解的存在性。”秦克拿着笔在白板上大概地写了两种方法,然后道:
“当然,理论上还存在第三种最优的方法,那就是从‘解的同构定理’来着手,试着能不能结合‘分歧’方法,这样的计算量可能会最少,在三页纸内解决你们想求证的正规解存在性这个问题。”
静!
整个研究室里陷入了绝对的安静状态!
秦克提出的三种方法,有如重磅炸弹,直接震得包括陈立成在内的六人全都傻眼了。
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